# Rozkłady macierzy: wartości własne i SVD

EN: **Matrix decompositions: eigendecomposition and SVD** · id `matrixdecomp` · aliases: matrix decomposition, matrix factorization, matrix factorisation, rozkład macierzy, faktoryzacja macierzy

Path: [AI Atlas](https://aiatlasgraph.com/llms.txt) › [Fundamenty i rozumowanie](https://aiatlasgraph.com/t/foundations.md) › [Matematyka i optymalizacja](https://aiatlasgraph.com/t/math.md) › [Algebra liniowa: wektory i macierze](https://aiatlasgraph.com/t/linearalgebra.md) › Rozkłady macierzy: wartości własne i SVD

## Description

- PL: Faktoryzacje macierzy (własna, SVD, QR, Cholesky'ego) ujawniające strukturę, rząd i kierunki dominujące danych.
- EN: Matrix factorisations (eigen, SVD, QR, Cholesky) revealing structure, rank and dominant directions of data.

## In one sentence

- PL: Rozbijanie tabeli liczb na prostsze części, które pokazują jej najważniejsze kierunki i pozwalają ją skrócić bez dużej straty.
- EN: Breaking a table of numbers into simpler parts that reveal its main directions and let it be shrunk without much loss.

## Problem it solves

- PL: Duże tabele danych są ogromne i zaszumione, a to, co w nich istotne, ginie wśród milionów liczb.
- EN: Large data tables are huge and noisy, and what matters in them gets lost among millions of numbers.

## What it does

- PL: Jak rozłożenie akordu na pojedyncze dźwięki: widać, które składowe grają najgłośniej, a cichsze można pominąć.
- EN: Like splitting a chord into single notes: you see which components are loudest and can drop the quieter ones.

## Everyday example

- PL: Serwis z filmami odgaduje twoje gusta, rozkładając ogromną tabelę ocen na kilka ukrytych upodobań widzów.
- EN: A film service guesses your tastes by breaking a huge ratings table into a few hidden viewer preferences.

## This concerns you if you…

- PL: kompresujesz dane lub modele
- PL: chcesz rozumieć, jak działa redukcja wymiarów
- EN: compress data or models
- EN: want to understand how dimensionality reduction works

## Keywords

SVD · eigendecomposition · truncated SVD · low-rank approximation · QR decomposition · Cholesky decomposition · randomized SVD · Eckart-Young theorem

## How it works

- PL: Rozkład własny macierzy symetrycznej przedstawia ją jako obrót, skalowanie wzdłuż osi własnych i obrót powrotny. SVD uogólnia to na dowolną macierz: A = UΣVᵀ, gdzie wartości osobliwe w Σ porządkują kierunki od najważniejszego. Obcięcie do k największych wartości daje najlepsze przybliżenie niskiego rzędu, na którym opiera się PCA, faktoryzacja w rekomendacjach i adaptery niskiego rzędu.
- EN: The eigendecomposition of a symmetric matrix expresses it as a rotation, scaling along eigen-axes and rotation back. SVD generalises this to any matrix: A = UΣVᵀ, with singular values in Σ ordering directions by importance. Truncating to the k largest gives the best low-rank approximation, underlying PCA, recommender factorisation and low-rank adapters.

## Limits

- PL: Pełny rozkład dużych macierzy jest kosztowny obliczeniowo, więc stosuje się metody przybliżone lub losowe. Rozkład liniowy nie uchwyci nieliniowej struktury danych.
- EN: Full decomposition of large matrices is computationally expensive, so approximate or randomised methods are used. A linear decomposition cannot capture nonlinear data structure.

## Key terms

- PL: **wartość własna**: Mnożnik, o jaki macierz rozciąga wektor wzdłuż jego kierunku.
- PL: **wartość osobliwa**: Siła danego kierunku w macierzy; większa znaczy ważniejszy.
- PL: **rząd macierzy**: Liczba niezależnych kierunków zawartych w macierzy.
- EN: **eigenvalue**: Factor by which a matrix stretches a vector along its own direction.
- EN: **singular value**: Strength of a direction in a matrix; larger means more important.
- EN: **matrix rank**: Number of independent directions a matrix contains.

## Related topics

Untyped, symmetric "see also" links.

- [Analiza głównych składowych (PCA) (Principal component analysis)](https://aiatlasgraph.com/t/pca.md)
- [Filtrowanie kolaboracyjne i faktoryzacja macierzy (Collaborative filtering and matrix factorisation)](https://aiatlasgraph.com/t/collabfiltering.md)

## Sources

- [Deisenroth, Faisal, Ong · Mathematics for Machine Learning — table of contents](<https://mml-book.github.io/>) `mmlbook` · by Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

---

AI Atlas revision 122 (2026-10-30) · HTML: https://aiatlasgraph.com/t/matrixdecomp · index: https://aiatlasgraph.com/llms.txt · everything: https://aiatlasgraph.com/llms-full.txt · updated 2026-10-30